Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется.

Для условно сходящихся рядов оказывается верным поразительный итог (аксиома Римана): для хоть какого числа , можно отыскать таковой порядок членов условно сходящегося ряда, что этот ряд будет сходиться к числу S

18.1.5.8. Умножение рядов.Пусть даны два ряда и . Под произведением рядов (А) и (В) понимается ряд, составленный из различных попарных произведений членов рядов (А) и (В):

.

Главные Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется. определения. Пусть дана нескончаемая последовательность функций .

независящей переменной х, имеющих общую область определения D. Ряд

именуется многофункциональным рядом.

Определение. Значение , при котором многофункциональный ряд сходится, именуется точкой сходимости многофункционального ряда. Огромное количество всех точек сходимости многофункционального ряда именуется областью сходимости этого ряда. Область сходимости обозначим .

молвят, что ряд сходится умеренно на области G, если для Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется. хоть какого числа существует такое натуральное число , одно и то же для всех точек ,что при n>N производится неравенство (либо, что тоже самое, , где - остаток ряда после n-го члена).

. Если ряд сходится к собственной сумме приблизительно с схожей скоростью во всех точках х, то сходимость именуется Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется. равномерной.

Признак Вейерштрасса. Если существует таковой положительный сходящийся числовой ряд , что члены многофункционального ряда в хоть какой точке удовлетворяют неравенству , то многофункциональный ряд сходится умеренно в области G.

х
Числовой ряд, удовлетворяющий неравенству , именуется мажорирующим рядом, либо мажорантой многофункционального ряда; про многофункциональный ряд молвят, что он мажорируется числовым рядом.

Характеристики умеренно сходящихся рядов.

18.2.3.1. Аксиома о непрерывности суммы Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется. умеренно сходящегося ряда непрерывных функций.Если члены многофункционального ряда - непрерывные функции, и этот ряд умеренно сходится на отрезке , то сумма этого ряда непрерывна на .

18.2.3.2. Аксиома о почленном интегрировании умеренно сходящегося ряда. Пусть члены многофункционального ряда непрерывны на отрезке , и ряд умеренно сходится к собственной сумме на этом отрезке: . Тогда Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется. , т.е. интеграл от суммы ряда равен сумме ряда, составленного из интегралов от членов умеренно сходящегося ряда.

18.2.3.3. Аксиома о почленном дифференцировании умеренно сходящегося ряда. Пусть члены сходящегося ряда - дифференцируемые на отрезке функции, и ряд, составленный из производных , умеренно сходится на . Тогда ряд можно почленно дифференцировать, и , т.е. производная суммы Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется. ряда равна сумме ряда из производных.

Степенные ряды.

18.2.4.1. Определение.Степенным рядом именуется многофункциональный ряд вида ,

где - неизменные (коэффициенты ряда), - фиксированное число (центр сходимости). Степенной ряд имеет само мало одну точку сходимости - точку .

Все содержательные сведения о степенном ряде содержатся в аксиоме Абеля.

18.2.4.2. Аксиома Абеля.Если степенной ряд Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется. сходится в точке , то

1. он полностью сходится в хоть какой точке х, удовлетворяющей неравенству (т.е. находящейся поближе к точке , чем );

2. он сходится умеренно на любом отрезке , полностью лежащем на интервале (т.е. на интервале с центром в радиуса ).

3. Если этот ряд расползается в точке , то он расползается в хоть какой Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется. точке х, удовлетворяющей неравенству (т.е. находящейся далее от точки , чем ).

18.2.4.3. Радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда.Из аксиомы Абеля следует, что существует такое число R (может быть, ) такое, что при степенной ряд сходится, при ряд расползается.

Определение. Число R такое, что при степенной ряд сходится, при ряд расползается, именуется радиусом Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется. сходимости. Интервал именуется интервалом сходимости степенного ряда.


eshe-o-sopryazhennom-metode-princip-variativnosti.html
eshe-ob-odnom-narushenii-ustava-ili-o-tom-kak-otec-rafail-okazalsya-angelom.html
eshe-odin-nemalovazhnij-element-v-kapalabhati-kolichestvo-vipolnyaemih-serij-konechno-vnachale-ne-stoit-toropitsya.html