Еще одни неравные взаимоотношения

Что если мы сделаем новейшую фигуру, над которой не будут очень доминировать другие фигуры, но роль которой будет малость другой? К примеру, фигуру — эквивалент ножниц, но с оборотным действием: она будет одолевает камень, но проигрывать бумаге? Ну-ка… Строительная машина (С), которая разбивает (одолевает) камень и проигрывает бумаге; при выпадении с Еще одни неравные взаимоотношения ножницами — ничья, так как обе фигуры особо невзаимодействуют. Сейчас наша матрица выигрышей смотрится последующим образом:

к б н с
К -1 +1 -1
Б +1 -1 +1
Н -1 +1
С +1 -1

В данном примерени у одной фигуры нет какого-то особенного достоинства перед другой, так что давайте перейдём к решению. Мы знаем, что к+б+н Еще одни неравные взаимоотношения+с=1, а выигрыши К=Б=Н=С=0.

Итак, наша матрица будет смотреться последующим образом:

0 -1 +1 -1 0

+1 0 -1 +1 0

[ -1 +1 0 0 0 ]

+1 -1 0 0 0

Меняем последовательность строк, чтоб характеристики, неравные нулю, находились на искосок, для этого меняем порядок строк:

+1 -1 0 0 0

-1 +1 0 0 0

[ +1 0 -1 +1 0 ]

0 -1 +1 -1 0

Суммируем две 1-ые строчки и получаем в первой строке характеристики, равные 0, вычитаем третью строчку из первой и получаем последующие результаты Еще одни неравные взаимоотношения:

+1 -1 0 0 0

0 0 0 0 0

[ 0 -1 +1 -1 0 ]

0 -1 +1 -1 0

Любопытно, что все характеристики во 2-ой сроке равны 0 (в этом нет никакой полезной инфы, это всего только значит, что 0 равен 0), и две последние строчки совсем однообразные (что означает, что последняя строчка лишняя и не докладывает нам никакой дополнительной инфы).Таким макаром, у нас остаётся только две строчки полезной инфы. По другому Еще одни неравные взаимоотношения говоря, у нас есть два уравнения (три, если посчитать к+б+н+с=1) и четыре неведомые величины.

Это означает, что по сути решений для данного примера несколько, может быть, их нескончаемо много.

Запишем решения:

Заменяем величины в уравнении к Еще одни неравные взаимоотношения+б+н+с=1 и получаем:

Заменяем величины в с=н-б и получаем с=н-1+2н, потому с=3н-1.

Таким макаром, с помощью н мы можем вывести три другие переменные:

На 1-ый взор может показаться, что для данного примера существует нескончаемое количество решений: изберите всякую величину для н и можете посчитать надлежащие значения для б, к и с. Но можно сузить спектр.

Каким образом? Давайте вспомним, что все эти переменные — это вероятности, другими словами спектр их значений Еще одни неравные взаимоотношения должен быть от 0 (если событие никогда не происходит) до 1 (если событие происходит всегда).Вероятности никогда не могут быть меньше нуля либо больше 1. При помощи этого правила мы можем ограничить спектр для н. Начнем с того, что спектр значения должен быть от 0 до 1.

Из уравнения с=3н-1 мы знаем, что н должно Еще одни неравные взаимоотношения приравниваться минимум 1/3 (по другому с будет отрицательным) и очень значение н может быть 2/3 (по другому с будет больше 100%). Если же мы поглядим на б и к, мы узнаем, что спектр значения н от 0 до 1/2. При совмещении 2-ух величин спектр н должен быть от 1/3 до 1/2. Это любопытно Еще одни неравные взаимоотношения: мы лицезреем, что Ножницы в любом случае остаются неподменным элементом хоть какой стратегии, и их употребляют повсевременно – от трети всего времени до хорошей половины.

При условии, что нижняя граница (н=1/3), мы обнаруживаем последующее: б=1/3, к=1/3, с=0, и это тоже верная стратегия. При нижней границе (н=1/2) мы находим это: б=0, к Еще одни неравные взаимоотношения=0, с=1/2. Мы также можем избрать всякую стратегию меж этими значениями, скажем, н=2/5, б=1/5, к=1/5, с=1/5.

Есть ли посреди этих стратегий какая-нибудь одна, которая лучше иных, та, которая приносила бы победу почаще, чем другие? К огорчению, для ответа на этот вопрос необходимо побеседовать о теории игр чуток больше, чем я сейчас Еще одни неравные взаимоотношения рассчитывал, но, если кратко, «это находится в зависимости от различных обстоятельств», и этот ответ основан на определенных догадках о том, как рациональны ваши противники; могут ли игроки время от времени ошибаться в собственной стратегии; что игрокам понятно о способах врагов, и от многого другого. Давайте просто скажем, что все Еще одни неравные взаимоотношения предпосылки неплохи, хотя, я уверен, мастера в области теории игр могут поспорить о том, что важнее чего.

Также мы можем сказать, что Строительная машина, возможно, не самое наилучшее дополнение к КНБ, так как ее присутствие допускает одну стратегию победы, где эту фигуру можно вообщем игнорировать, и Еще одни неравные взаимоотношения еще одну – где можно пренебречь и Б, и К. Это принудит задуматься, а для чего вообщем растрачивать ресурсы разработки на ввод 2-ух из 3-х фигур, которые могут вообщем не употребляться, когда игроки набьют руку!

Решаем «GameofMalkav»

До реального момента мы равномерно разбирались с каждым нашим предположением: что в игре симметричен выигрыш Еще одни неравные взаимоотношения, что это игра с нулевой суммой, что есть всего три фигуры. Но есть один момент, который мы не прояснили в варианте игры с 2-мя игроками – что случится, если у игроков будут различные варианты фигур. Будет уже не просто несимметричный выигрыш, а несимметричная игра. Если мы будем опираться на предположение, что Еще одни неравные взаимоотношения у 1-го игрока столько же фигур, сколько и у другого, что случится, если, скажем, у 1-го игрока 6 фигур, а у его противника – всего только 5? Казалось бы, такового рода задачка нерешаема для уникального уравнения (ведь неведомых 6, а уравнений всего 5, правильно?), но, на самом деле, выходит, что мы в неких случаях Еще одни неравные взаимоотношения можем использовать более сильную технику для решения этой задачки в уникальном порядке.

Давайте разглядим карту под заглавием «GameofMalkav» из необычной ККИ, о которой большая часть из вас, наверняка, и не слышало. Она применяется последующим образом: все игроки всекрете друг от друга сразу загадывают число. Игрок, у Еще одни неравные взаимоотношения которого эта карта, выбирает число в спектре от 1 до 6, а все другие – от 1 до 5. Каждый игрок получает количество очков жизни, равное избранному номеру… если только другой игрок не избрал число, наименьшее на 1 – в данном случае игрок теряет столько очков жизни. К примеру, если вы избрали 5, вы получаете 5 очков жизни, если только кто Еще одни неравные взаимоотношения-то другой не избрал 4. В таком случае вы теряете 5 очков жизни, а противник получает 4, если только кто-то не избрал 3… и т.д.. Чем больше игроков, тем труднее, так что давайте разглядим вариант, где их только двое. Давайте также создадим упрощающее допущение, что игра – с нулевой суммой Еще одни неравные взаимоотношения, и, если вы получаете 1 очко жизни, противник его теряет (я понимаю, что это не всегда правильно, и это будет варьироваться зависимо от относительных итогов, но так мы, по последней мере, начнем осознавать, что это вообщем за карта).

Мы можем задуматься, а какой вообщем ожидаемый выигрыш от этой карты? Помогает ли то Еще одни неравные взаимоотношения, что у вас 6 ходов, а у вашего противника – всего 5? Какова наилучшая стратегия, и к какому результату мы ожидаем придти? Короче говоря, имеет ли смысл использовать эту карту… и, если да, как вы решите, используя ее, какое число загадать?

Как обычно, начнем с таблицы выигрышей. Давайте назовем столбцы И Еще одни неравные взаимоотношения1-И6 (игрок), а строчки – П1-П5 (противник):

П1 П2 П3 П4 П5
И1 +3 -2 -3 -4
И2 -3 +5 -2 -3
И3 +2 -5 +7 -2
И4 +3 +2 -7 +9
И5 +4 +3 +2 -9
И6 +5 +4 +3 +2 -11

Мы могли бы попробовать решить ее, и, кажется, ни для 1-го, ни для второго игрока нет вариантов, над которыми доминируют другие, но мы бы стремительно нашли, что в цифрах куча символов после Еще одни неравные взаимоотношения запятой… а еще то, что решения, оказывается, нет – и причину вы бы нашли, как принялись за решение. На самом деле, 6 уравнений и 5 переменных делают избыточность… только вот в данном случае мы не можем отбросить строчки, и в конце концов вы получите как минимум два противоречащих друг дружке уравнения. Так Еще одни неравные взаимоотношения что тут не может не быть стратегий, над которыми доминируют другие стратегии… дело просто в том, что они явны не сходу, так как у нас тут несколько строк либо столбцов, над всеми которыми сходу доминируют другие несколько строк, и это нельзя увидеть невооруженным взором. Как нам тогда их Еще одни неравные взаимоотношения отыскать?

Мы начнем с того, что найдем наилучшие варианты для каждого игрока, как если б игрок знал, что сделает его противник, заблаговременно. Например, если противник знает, что мы выбросим И1, их наилучшим вариантом стал бы П5 (тогда у него было бы незапятнанные +4, а у нас – незапятнанные -4). Но потом мы бы Еще одни неравные взаимоотношения продолжили реагировать на их реакцию: если игрок знает, что противник изберет П5, наилучшим ходом станет И4. Но наилучший ход против И4 – П3. Наилучший ход против П3 – И2. Наилучших ходом против И2 два – П1 и П5, так что разглядим оба варианта:

>>Наилучший ответ на П5 – это И4, как и ранее Еще одни неравные взаимоотношения (и мы можем продолжать непереходную последовательность П5->И4->П3->И2->П5 нескончаемо).

>> Наилучший ответ на П1 – И6. Наилучший ход против И6 – П5, что опять приводит нас к непереходной последовательности П5->И4->П3->И2->П1->И6->П5.

А что, если мы начнем не оттуда, скажем, первым нашим ходом станет И Еще одни неравные взаимоотношения3? Тогда противнику следует будет избрать П2, мы ответим на это И6, что в конечном итоге приведет нас к петле П5->И4->П3->И2->П1->И6->П5. Если мы начнем с П5, противник изберет П4, на что получит И3 в ответ, а мы только-только разглядели этот случай. Почему бы Еще одни неравные взаимоотношения нам не начать с П1, П2, П3, П4, П5, P2, И4 либо И6? Мы уже обсуждали эти варианты, рассматривать больше нечего.

Таким макаром, непринципиально, откуда мы начинаем, в конце концов, после того, как мы совершенно мало поиграем, усвоим, что только маленькая фиксированная последовательность ходов по сути Еще одни неравные взаимоотношения является частью непереходной натуры этой игры, так как эти ходы делают две непереходные петли: П5/И4/П3/И2 и П5/И4/П3/И2/П1/И6. Если мы поглядим на эти последовательности, то увидим, что игроки всегда выбирают или П1, П3, П5, или И2, И4, И6. Хоть какой другой вариант невыгоден: к примеру Еще одни неравные взаимоотношения, в любом моменте, где кажется, что использовать И6 – прибыльно(другими словами вы ждете, что выиграете), по сути нет никакой предпосылки использовать И5 (даже если вы ждете, что ваш противник сделает ход П5, вам лучше использовать не И5, а И4).

Если вы используете эту технику для того, чтоб Еще одни неравные взаимоотношения отыскивать непереходные петли, нередко можно уменьшить более широкий диапазон вариантов до малеханького, в каком будут только подходящие варианты… либо, на худенький конец, вы докажете, что все эти варианты имеют право на существование. Временами вам будут встречаться игры (Prisoner’s Dilemma – довольно-таки узнаваемый пример, если вы о нем слышали), где для Еще одни неравные взаимоотношения обоих игроков есть идиентично дающие преимущество зоны в игровом пространстве, так что при следующих раундах можно ждать, что все игроки будут оказываться в этих зонах; спецы в теории игр именуют такие случаи равновесием Нэша в честь математика, который первым их обрисовал (сможете на этом не заморачиваться Еще одни неравные взаимоотношения).

В этом случае мы можем уменьшить таблицу до нескольких переменных, которые нам увлекательны:

П1 П3 П5
И2 -3 +5 -3
И4 +3 -7 +9
И6 +5 +3 -11

Запомните, что эти переменные несимметричны. Таким макаром, мы знаем, что П1=П3=П5 и И2=И4=И6, но мы не знаем, равны ли все они нулю, либо одна отрицательна по Еще одни неравные взаимоотношения отношению к другой (подразумевается, что И1 – положительна, а П1 – отрицательна, раз уж мы ожидаем, что у игрока с этой картой есть преимущество, но… поглядим).

Мы составляем матрицу, используя Х, который обозначает выигрыш для И2, И4 и И6:

-3 +5 -3 X

[ +3 -7 +9 X ]

+5 +3 -11 X

Ее можно уменьшить до треугольной формы и решить так же, как мы Еще одни неравные взаимоотношения делали ранее. Попытайтесь сделать это без помощи других! Ответ я приведу ниже.

Итак, решив эту матрицу, вы получите вероятности П1, П3 и П5, но, чтоб выяснить вероятности выбора И2, И4 и И6, вам необходимо повернуть матрицу на искосок, так, чтоб все П оказались слева, а И – наверху (другими словами Еще одни неравные взаимоотношения, вы ее транспонируете). В этом случае нам также будет нужно сделать все числа отрицательными, так как это матрица исходя из убеждений противника, и, как следует, выигрыши обратны:

+3 -3 -5 Y

[ -5 +7 -3 Y ]

+3 -9 +11 Y

Ее тоже можно решить, как обычно. Если вам любопытно, ответы будут примерно такими:

И2:И4:И6 = 49% : 37% : 14%

П1:П3:П5 = 35% : 41% : 24%

Ожидаемый выигрыш Еще одни неравные взаимоотношения для игрока И (выше он обозначен как Х) — 0.31; выигрыш для игрока П (Y) отрицателен по отношению к Х — -0.31.

Другими словами, если в эту игру играют двое и играют нормально, игрок с этой картой в среднем получает преимуществов одну третья часть очка жизни – так что, пока мы обосновывали, что Еще одни неравные взаимоотношения внедрение этой карты и возможность выбора числа 6 – это преимущество, оказалось, что это не совершенно так. С другой стороны, возможность неожиданных больших конфигураций в состоянии сделать эту карту стоящей в истинной игре (либо нет) – все находится в зависимости от вашей колоды. И, очевидно, игра приметно усложняется, если игроков трое либо больше – эти случаи Еще одни неравные взаимоотношения мы тут не рассматриваем.


esli-dusha-rodilas-krilatoj-sochinenie.html
esli-est-ugol-povorota-to-sushestvuet-uglovaya-skorost-srednyaya-uglovaya-skorost-i-mgnovennaya-uglovaya-skorost.html
esli-eto-tolko-obnaruzhitsya.html